老仓育(2)

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关于欧拉与数学最美的公式的事实
如果世界跟欧拉的想法不一致，欧拉会觉得肯定是这个世界出错了；欧拉因此闹出了瑞士海军的笑话，这点算是跟老仓育比较相似的地方。欧拉如产卵期的大马哈鱼般，数学著作的产量在历史上只有庞加莱和柯西可以比肩，这与高斯的“稀少但成熟”是背道而驰的。
欧拉出身于瑞士，是一名虔诚的新教徒，他为了证明上帝的存在还很认真地写了许多篇数学论文
。关于这点流传着以下的传说：欧拉曾有一段时间，和伏尔泰一同待在柏林科学院；此时信仰新教的腓特烈大帝厌倦了伏尔泰无尽的无神论说教，于是有一天找了欧拉一同来觐见；传说中欧拉对伏尔泰说「$cfrac{（a b）^n}{n}=x$所以上帝存在，请回答！」，于是这位伟大的启蒙无神论者就被虔诚的欧拉封住了嘴。
但不幸的，欧拉本身对于欧拉公式的证明是不严谨的；欧拉原始的证明是随便地把三角函数的幂级数展开，当成普通的“多项式”调换顺序的加减乘除。所以欧拉就错在没有证明无穷级数需绝对收敛（也就是生成原级数的数列取绝对值后生成的新级数收敛），重排后的级数才会收敛于同个值，而且他也没有证明三角幂级数是绝对收敛。当时的数学家并没有严谨处理级数收敛的手法，像是不知道函数幂级数的收敛是有收敛区间的（也就是不是对所有的$x$值，幂级数都会乖乖收敛），以致于从自然对数的幂级数展开得出$1$为$-1$的荒谬结果。但高斯的数学著作也不是没有遗憾的；高斯那篇名传千古、史上第一次严谨证明代数基本定理的博士论文，仍然是基于多项式函数会和$x$轴有几个交点为基础假设去严谨证明的；但现代的证明表明，代数基本定理本身是跟微积分的基础，也就是实数的本质是分不开的（有认真学微积分的好孩子，会知道最实数的小上界性质跟勘根定理有密不可分的关系）。
顺带一提，现代的证明是一定需要用到广义欧拉公式，也就是$$mathrm e^{mathrm i x} = cos x mathrm i sin x$$
世界上最美的公式只不过是广义欧拉公式的特例，而且更美的是，我们可以从复数变数的自然指数幂级数展开去严谨定义三角函数。其实这正是严谨证明欧拉公式的正确途径，历史上的三角幂级数是牛顿从计算弧长的积分，先对二项展开式（的倒数）做开方，推出反正弦函数的幂级数，再由此反求三角幂级数，但现在我们只要从复利和生态学族群生长的模型意识到自然指数的存在，再由二项展开式得出自然对数的幂级数展开以后，就可以一劳永逸地解决问题，而不用依托于三角函数的几何意义。然后我们可以从这个抽象的定义反回去推出三角函数跟$pi$的几何性质。但到头来，无穷幂级数的收敛理论，又是基于实数的性质。说这个孤立的公式最美，不如说人类可以从有理数“人工”造出“实数”，步步为营地推演出这样复杂、极度渴望逼近真理的数学理论才是最美的。有没有被老仓育抓去特别课后辅导的绝望感呢，这才是人类学术的极致。